锐角性质可视化

Acute-angle Property Visualization

📐 定理说明 (Theorem Statement)

(Π_X(y) - x)^⊤ (Π_X(y) - y) ≤ 0

几何意义：对于约束集 X 中的任意点 x，以及空间中的任意点 y，投影点 z = Π_X(y) 满足：向量 (z-x) 与向量 (z-y) 的夹角 ≥ 90°

Geometric Meaning: For any point x in constraint set X and any point y in space, the projection z = Π_X(y) satisfies: the angle between vectors (z-x) and (z-y) is ≥ 90°

夹角 (Angle): -- °

约束集 X (Constraint Set X)

点 y (Point y)

投影点 z (Projection z)

点 x (Point x)

角度区域 (Angle Region)

💡 交互说明 (Instructions):

点击画布中的蓝色区域选择约束集 X 中的点 x
点击画布任意位置选择点 y（可以在 X 外部）
观察投影点 z = Π_X(y) 以及角度关系
尝试不同位置，验证夹角总是 ≥ 90°！

🎯 关键观察 (Key Observations)

1. 投影点 z 是 y 在约束集 X 上的最近点

2. 向量 (z-y) 指向从 z 到 y 的方向

3. 向量 (z-x) 指向从 z 到 X 中其他点 x 的方向

4. 这两个向量的夹角总是 ≥ 90°（钝角或直角）

5. 这意味着 z 是"最优"的投影点——从 y 出发，z 是进入约束集 X 的"最自然"方向